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\setCJKmainfont[BoldFont=SimHei,ItalicFont = SimSun]{SimSun}

\title{\heiti\zihao{2} 习题14.4}
\author{中书君}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{证明 $:$ 函数 $f(x, y)=\dfrac{1}{1-x y},(x, y) \in D=[0,1) \times[0,1)$, 在 $D$ 上连续但不一致连续.}
\begin{proof}
    当$(x,y)\in D$时,成立
    $$
        \begin{aligned}
            \left|\dfrac{1}{1-xy}-\dfrac{1}{1-x_0y_0}\right|&=\left|\dfrac{x(y-y_0)+y_0(x-x_0)}{(1-xy)(1-x_0y_0)}\right|\\
            &\leqslant\left|\dfrac{y_0(x-x_0)}{(1-xy)(1-x_0y_0)}\right|
        \end{aligned}
    $$
    当$\mathbf{x} = (x,y)\in U(\mathbf{x_0},\delta)$的方形邻域时,有
    $$
        \begin{aligned}
            \left|\dfrac{x(y-y_0)}{(1-xy)(1-x_0y_0)}\right|&\leqslant\left|\dfrac{(x_0+\delta)\delta}{(1-(x_0+\delta)(y_0+\delta))(1-x_0y_0)}\right|=\delta\cdot\left|\dfrac{(x_0+\delta)}{(1-(x_0+\delta)(y_0+\delta))(1-x_0y_0)}\right|\\
            \left|\dfrac{y(x-x_0)}{(1-xy)(1-x_0y_0)}\right|&\leqslant\left|\dfrac{(y_0+\delta)\delta}{(1-(y_0+\delta)(x_0+\delta))(1-x_0y_0)}\right|=\delta\cdot\left|\dfrac{(x_0+\delta)}{(1-(x_0+\delta)(y_0+\delta))(1-x_0y_0)}\right|
        \end{aligned}
    $$
    从而函数连续.\par 
    取$\mathbf{x}^1_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}\right),\mathbf{x}^2_{n}=\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{n}},\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}\right)$,显然两个点列收敛到$(1,1)$,但
    $$
    \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^2}-\dfrac{1}{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{n-n^2}{2n-1}=-\infty
    $$
    但显然$||\mathbf{x}^1_{n}-\mathbf{x}^2_{n}||=0$,所以不一致连续.
\end{proof}

\section{证明 : 函数 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上一致连续.}
\begin{proof}
    对$\mathbf{x}\in\mathbb{R}$,有
    $$
        \begin{aligned}
            \left|\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2_0+y^2_0}\right|=||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||
        \end{aligned}
    $$
    对$\forall\varepsilon>0$只要取$\delta<\varepsilon$即可满足$||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||<\delta$时$\left|\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2_0+y^2_0}\right|<\varepsilon$,所以一致连续.
\end{proof}

\section{证明 : 连续映射的复合仍为连续映射.}
\begin{proof}
假设 $g$ 在 $D$ 上连续, $f$ 在 $\Omega$ 上连续,并且 $x_{0} \in D, u_{0}=g\left(x_{0}\right) \in \Omega .$ 由 $f$ 在 $u_{0}$ 连 续, $\forall \varepsilon>0, \exists \eta>0$,当 $\left|u-u_{0}\right|<\eta_{0}$ 时,有 $\left|f(u)-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon$.
对于上述 $\eta>0$,由 $g$ 在 $x_{0}$ 连续知, $\exists \delta>0$, 当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, 有 $\left|g(x)-g\left(x_{0}\right)\right|<\eta .$
于是, 当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, $\left|f^{\circ} g(x)-f^{\circ} g\left(x_{0}\right)\right|=\left|f(u)-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon$, 得证.
\end{proof}
\begin{proof}
    设$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m,g:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^p$,当$f,g$可复合的时候,设$E$为$f,g$复合映射的值域.不妨设其为开集,则显然由$g$是连续映射,从而对$E$中任意开集$E'$,都成立$g^{-1}(E')$为开集,从而$f^{-1}(g^{-1}(E'))$为开集,从而$f\circ g$是连续映射.若$E$为闭集则同理.
\end{proof}
\section{证明 $: \mathbb{R}^{n}$ 不能写为两个不交非空开集的并.}
\begin{proof}
    若存在两个非空开集的并$E_1\cup E_2=\mathbb{R}$,则有$\forall \mathbf{x}\in E_1,E_2,\exists\delta >0,U(\mathbf{x},\delta)\subset E_1,E_2$.所以若$\mathbf{x}\in E_1$,则$x\notin E_2$,而由假设,所有$E_1$之外的点一定属于$E_2$,同理所有$E_2$之外的点全部属于$E_1$,从而$E_2=E^c_1$,所以导出$E_2$是闭集,矛盾.
\end{proof}
\begin{proof}
    设 $\mathbb{R}^{n}=U \bigcup V, U, V$ 均为非空开集,定义函数 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 为
$$
f(\boldsymbol{x})=0, \quad \forall x \in U ; \quad f(x)=1, \quad \forall x \in V
$$
$U, V$ 为开集,所以任取$\mathbf{x_0}\in U$,则$\exists\delta>0,B(\mathbf{x_0},\delta)\subset U$,其中任意$\mathbf{x}\in B(\mathbf{x_0},\delta)$,都有$|f(\mathbf{x_0})-f(\mathbf{x})|=0<\varepsilon$.从而由定义,$f(x)$ 为连续函数. 根据介值定理,对任何 $0 \leqslant y \leqslant 1$, 均有 $y \in f\left(\mathbf{R}^{n}\right)$.这和只取 $0$ 或 $1$矛盾.
\end{proof}
\section{设 $\mathbf{D} \subset \mathbb{R}^{n}, f$ 是 $\mathbf{D}$ 上的连续函数,则对 $\mathbb{R}^{n}$ 中的任意子集 $\mathbf{E}$, 有 $f(\overline{\mathbf{E}}) \subset \overline{f(\mathbf{E})}$.}
\begin{proof}
    由于任意闭集的原像是闭集,所以$E\subset f^{-1}(f(E))\subset f^{-1}\overline{(f(E))}$所以由$\overline{f(E)}$是闭集可知$\overline{E}\subset f^{-1}\overline{(f(E))}$.
\end{proof}
\begin{proof}
$\forall x \in \bar{E}$,存在 $E$ 中的点列 $\left\{x_{k}\right\}$, 满足 $\lim\limits _{k \rightarrow \infty} x_{k}=x$, 由于映射 $f$ 在 $x$ 连续，
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=f\left(\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}\right)=f(x)
$$
所以 $f(x) \subset \overline{f(E)}$, 即 $f(\bar{E}) \subset \overline{f(E)}$

\end{proof}

\end{document}